非线性规划模型：奇怪的骰子问题

问题描述 我们经常在欧洲杯或世界杯等重大足球赛事中看到一些“黑马”。 本来不太被看好的球队拿到了冠军，我们在生活的其他方面也经常能发现这种现象。 它不仅限于足球。 竞争或类似的。

我们用骰子来模拟这样的现象。 一个骰子可以掷出不同的点数，就像一个团队的等级可能会发生变化一样。 如果目前有 4 支球队（骰子）btc骰子概率计算器，他们可能的比赛水平（掷出的点数）用非负整数表示为 A (6, 6, 2, 2, 2, 2), B (5, 5, 5 , 1, 1, 1), C(4, 4, 4, 4, 0, 0), D(3, 3, 3, 3, 3, 3), 假设任意队伍可能出现6个不同等级。 可以看出4支队伍的平均水平是

如果你来当教练，指挥某支球队进入淘汰赛，你会选择哪支球队？

思路分析如果你选A队，那我选D队，经过计算，有

使用稍微复杂一点的概率公式，或者简单地列举一下，我们发现

比如P(A>B)=P(A=6)+P(A=2 and B=1)=1/3+2/3*1/2=2/3 我们取2的概率/3 称为双赢概率。 这样一组不满足传递性的骰子称为非传递性骰子，特别是具有上述点集的骰子称为Efron骰子。

因此，这4支球队中并没有绝对的强队，也没有哪支球队能够在淘汰赛中保证一定的胜利。 在真实的球类比赛中，球队的级别可能是每个对应的数字都加到一个基数上，比如100，这并不影响上述分析的结果。

这种骰子的点数设置并不是唯一的，可以利用魔方构造出更多的例子。 如图1所示，是一个三阶幻方。

图1 3阶幻方

将 3 个骰子的点数设置为幻方行。 如果一定要设置为6面，可以是A(8,8,1,1,6,6), B(3,3,5,5,7, 7), C(4,4,9, 9,2,2)。 此时3个骰子相互获胜的概率为5/9。

如果我们允许不等概率掷骰子，那么只有3个骰子的互赢概率可以更大。

设置 3 个骰子 A、B、C，使 P(A=3)=1，P(B=2)=φ，P(B=5)=1-φ，P(C=4)=φ，P( C=1)=1-φ,

在

, 那么互相获胜的概率就是 ϕ 。

那么，对方获胜的最大概率是多少呢？

模型建立 我们可以建立如下的线性规划模型。

假设我们有d个骰子，每个骰子有f个面，第i个骰子第j面的点数为(j-1)d+i，掷出这个点的概率为p(i, j ), 其中 , 1≤i≤d, 1≤j≤f。 当d=3，f=4时，每个骰子的点数如表4.5所示（每行一个骰子）。

表 1 骰子每 4 面的点数集

如果第i个骰子赢得第i-1个骰子的概率至少为p，其中2≤i≤d； 而第1个骰子赢得第d个骰子的概率也至少为p，则这组骰子相互获胜的概率至少为p，实现最大互赢概率的规划模型如下。

其中，第一个约束是第i个骰子赢得第i-1个骰子的概率，第二个约束是第1个骰子赢得第d个骰子的概率，其余条件是对概率的限制。

可以得到模型解的计算。 关于不同骰子的数量和每个骰子的面数，最大互赢概率值如表2所示。

表2 不同数量的骰子和相互获胜的概率

相互获胜的概率会随着骰子数量的增加而逐渐增加，其上限为3/4。 似乎我们可以得出这样的结论：当你不知道有多少竞争对手的时候，对于一个特定的对手，如果你的胜率不超过3/4btc骰子概率计算器，那么很难说你真的可以打他。